PERSAMAAN TIGA MOMEN MEKANIKA REKAYASA III

BAB I  PERSAMAAN TIGA MOMEN

1.1  Pendahuluan

Balok statis tak tentu telah didefinisikan sebagai balok yang tanggapan gaya dan tanggapan deformasinya, ketika beban-beban bekerja atau ketika tumpuan-tumpuan mengalami penurunan yang tak sama, tidak dapat ditentukan dengan hanya menggunakan persamaan-persamaan statika. Derajat ke tak tentuan balok statis tak tentu adalah :

NI = NR - 2 - NIH ……………………… (1)

dengan: NI adalah derajat ke-taktentu-an, NR adalah jumlah total reaksi, dan NIH adalah jumlah sendi-dalam pada balok yang bersangkutan. Balok umumnya dibuat tanpa sendi-dalam, meskipun dalam analisa batas,* yang meneliti tanggapan-tanggapan suatu balok setelah kapasitas momen-luluh tercapai pada beberapa penampang balok, balok yang bersangkutan berperilaku seolah-olah sendi-dalam telah terpasang pada penampang-penampang kritis ini.

Derajat ke-taktentu-an paling tinggi yang mungkin untuk suatu balok yang terdiri dari satu bentangan (atau dengan dua tumpuan) adalah dua, yakni apabila kedua ujung bentangannya terjepit. Balok dengan lebih dari satu bentangan dinamakan balok-kontinu, karena ia "kontinu" di atas tumpuan-tumpuan-antaranya. Balok-balok yang diperlihatkan pada Gambar 1 adalah balok-balok-kontinu yang terdiri dari empat bentangan. Derajat ke-taktentu-an dari ketiga balok pada gambar tersebut masing-masing adalah 3, 4 dan 5.

Balok-kontinu biasa dipakai dalam konstruksi jembatan dan bangunan. Panjang bentangannya boleh tak sama, dan momen-momen inersia penampang tegaknya boleh berbeda dari satu bentangan ke bentangan yang lain. Analisa balok semacam itu, dengan metode gaya yang menggunakan reaksi-reaksi sebagai kelebihan, akan memerlukan sejumlah besar perhitungan lendutan atau kemiringan pada balok-dasar dengan be-berapa variasi momen inersia penampang tegaknya. Pendekatan yang lebih memudahkan adalah dengan menggunakan momen-momen lentur statis yang tak diketahui di tumpuan-tumpuan sebagai kelebihan.

Gambar 1. Balok Kontinu

Pada metode ini, setiap bentang dapat dipandang secara mandiri sebagai suatu balok-sederhana yang momen inersianya tetap, yang memikul beban-beban yang bekerja pada batang tersebut. Kondisi keselarasan yang berkaitan dengan momen lentur yang tak diketahui di sembarang tumpuan-antara, dapat dianggap sebagai fungsi dari beban-beban pada dua bentang yang bersebelahan dan momen lentur di tiga tumpuan yang berurutan, mencakup sebuah tumpuan di depan dan sebuah tumpuan di belakang tumpuan yang sedang ditinjau. Karena kondisi keselarasan ini melibatkan tiga momen lentur di tumpuan-tumpuan, ia dinamakan persamaan tiga-momen. Pada tahun 1857, Clapeyron menguraikan analisa balok-kontinu dengan menggunakan persamaan tiga-momen; pada tahun 1860 Mohr menyesuaikan lebih lanjut metode tersebut dengan memasukkan pengaruh-pengaruh dari penurunan-penurunan tumpuan yang tak sama.

Sasaran bab ini ialah menurunkan persamaan tiga-momen dan menunjukkan penerapannya terhadap analisa balok statis taktentu yang memikul beban-beban yang beker­ja atau mengalami penurunan-penurunan tumpuan yang tak sama.

1.2  Penurunan Persamaan Tiga-Momen

Persamaan tiga-momen menunjukkan hubungan antara momen-momen lentur di tiga tumpuan yang berurutan pada suatu balok-kontinu yang ditujukan untuk memikul beban-beban yang bekerja pada kedua bentang yang bersebelahan, dengan atau tanpa penurunan-penurunan tumpuan yang tak sama. Hubungan ini dapat diturunkan berdasarkan kontinuitas kurva elastis di atas tumpuan-antaranya; yakni, kemiringan kurva elastis di ujung kanan bentangan sebelah kiri harus sama dengan kemiringan kurva elastis di ujung kiri bentangan sebelah kanan.

Sebutlah AB dan BC pada Gambar 2a sebagai dua bentangan yang bersebe­lahan pada suatu balok yang semula horisontal. Karena penurunan-penurunan yang tak sama, tumpuan A dan tumpuan C lebih tinggi dari tumpuan B, masing-masing se-besar h_A dan h_C', dengan demikian kurva elastis yang bersangkutan melalui titik-titik A', B, dan C'. Sebutlah M_A, M_B, dan M_c sebagai momen-momen lentur di A, B, dan C, momen-momen ini positif jika mereka menyebabkan tekanan pada bagian atas balok.

Gambar 2. Diagram momen pada dua bentangan yang bersebelahan pada balok kontinu

Tinjaulah sekarang Gambar 3, diagram momen pada bentang AB diuraikan menjadi dua bagian: Gambar 3b menunjukkan diagram momen akibat be­ban-beban yang bekerja pada AB apabila ia dipandang sebagai suatu balok-sederhana, dan Gambar 3c menunjukkan diagram momen yang dihasilkan dari momen-momen M_A dan M_B di tumpuan-tumpuan yang bersangkutan. Lewat superposisi, seluruh dia­gram momen diperlihatkan pada Gambar 3a.

Gambar 3. Superposisi diagram momen pada suatu bentang tipikal

Kembali ke Gambar 2, perhatikanlah bahwa diagram-diagram momen pada bentangan AB dan BC masing-masing dipecahkan menjadi dua bagian: bagian-bagian A₁ dan A₂ yang disebabkan oleh beban-beban pada masing-masing bentangan dan bagian-bagian A₃, A₄ dan A₅, A₆ yang disebabkan oleh momen-momen ujung M_A, M_B pada bentangan AB dan M_B, M_C pada bentangan BC. Diagram-diagram momen balok-sederhana akibat beban-beban yang bekerja pada bentangan-bentangannya telah didapatkan sebelumnya, dan sasaran analisa yang bersangkutan adalah memperoleh momen-momen lentur M_A, M_B dan M_C di tumpuan-tumpuan yang bersangkutan.

Hubungan antara M_A, M_B, dan M_c dapat diturunkan dari kondisi keselarasan untuk balok yang kontinu di B, atau garis singgung kurva elastis BA' di B terletak pada ga­ds lurus yang sama dengan garis singgung kurva elastis BC di B, sebagaimana diperlihatkan pada Gambar 2a. Dengan kata lain, titik-hubung B dapat dipandang sebagai suatu titik-hubung kaku (monolitik dalam konstruksi beton bertulang, dilas dalam konstruksi baja); dengan demikian kedua garis singgung di B pada kurva-kurva elastis di kedua belah sisi B, satu terhadap yang lain, harus tetap membentuk sudut 180°. Karena gads singgung A₁BC_l pada Gambar 2a harus berupa garis lurus,

…………………………….. (2)

dengan :

AA₁     = h_A-A₁A' = h_A - (lendutan di A' dari garis singgung di B)

= h_A-

= h_A- …………………….. (3)

dan

CC₁     = C₁C' = h_C - (lendutan di C' dari garis singgung di B) - h_C

=

= …………………….. (4)

Subtitusikan persamaan (3) dan (4) ke dalam persamaan (2),

=

Kalikan setiap suku dalam persamaan di atas dengan 6E dan sederhanakan,

…(5)

Persamaan (5) tak lain adalah persamaan tiga momen.

1.3   Penerapan Persamaan Tiga Momen pada Analisa Balok-Kontinu akibat Beban-beban yang Bekerja

Persamaan tiga-momen dapat digunakan untuk menganalisa balok statis taktentu. Sebagai contoh, tinjaulah masalah penganalisaan balok kontinu pada Gambar 4, yang ditujukan untuk memikul beban-beban yang bekerja sebagaimana diperlihatkan. Balok yang bersangkutan bersifat statis taktentu berderajat-tiga, namun kelebihannya akan dihapuskan apabila momen-momen lentur di semua tumpuan telah didapatkan. Momen-momen di tumpuan A dan E dapat dengan mudah diperoleh melalui pemeriksaan, sambil mengikuti hukum-hukum statika. Untuk menentukan momen-momen di tumpuan-tumpuan B, C, dan D, ketiga persamaan tiga-momen dapat disusun berdasarkan kontinuitas di tumpuan-tumpuan B, C dan D. Dengan kata lain, momen-momen lentur M_B, M_C, dan M_D dipilih sebagai kelebihan-kelebihan, dan kondisi deformasi yang bersangkutan adalah ke-kontinuitas-an tersebut, yang dapat dinyatakan dengan persamaan tiga-momen. Jadi selalu terdapat kondisi-kondisi kontinuitas sebanyak mo­men-momen lentur yang tak diketahui di tumpuan-tumpuan. Reaksi-reaksi di ujung-ujung setiap bentangan dapat diperoleh melalui hu­kum-hukum statika dan diagram gaya geser serta diagram momen dapat digambarkan sebagaimana mestinya.

Gambar 4. Balok kontinu tipikal dengan momen diketahui di tumpuan-tumpuan ujungnya

Jika balok-kontinu yang bersangkutan memiliki sebuah tumpuan-terjepit, seba­gaimana ditunjukkan pada Gambar 5, momen lentur di tumpuan-terjepit yang ber­sangkutan merupakan salah satu kelebihan yang tak diketahui. Kondisi keselarasan yang berkaitan dengan momen ujung-terjepit yang tak diketahui tersebut adalah, bahwa kemiringan garis singgung di A sama dengan nol. Kondisi ini dapat 'dipenuhi dengan menambahkan suatu bentang khayal A₀A dengan sembarang panjang L₀ yang hanya ditumpu di A₀ dan yang penampang tegaknya memiliki momen inersia yang tak-terhingga besarnya. Dalam cara ini, suatu persamaan tiga-momen yang menggunakan tumpuan-terjepit A sebagai tumpuan-antaranya dapat disusun. Karena bentangan-khayal A₀A me­miliki momen inersia yang tak-terhingga besarnya, diagram momennya, berupa apa pun ia, tak dapat menghasilkan luas bidang M/EI, karenanya tak terdapat kurva elastis. Selama A₀A masih dalam keadaan tak-terdeformasi, garis singgung yang umum di A akan berupa garis lurus horisontal.

Gambar 5. Balok kontinu tipikal dengan momen yang tidak diketahui di tumpuan ujung terjepit

1.4  Contoh Soal

Contoh 1.  Analisalah balok-kontinu pada Gambar 6a dengan menggu­nakan persamaan tiga-momen. Gambarkan diagram gaya geser dan momennya. Buatlah sketsa kurva elastisnya!

PENYELESAIAN: Diagram-diagram momen pada AB, BC dan CD, yang diperoleh dengan menganggap setiap bentang sebagai suatu balok-sederhana yang memikul beban-beban yang bekerja. diperlihatkan pada Gambar 6b. Perhatikan bahwa, untuk bentang BC, diagram-diagram momen digambarkan secara terpisah, masing-masing untuk beban terbagi-rata dan untuk beban terpusat.

Dari gambar 6b diketahui, M_A=0 dan Md=-36 kN.m (negatif karena ia mengakibatkan tekanan di D pada bagian bawah balok).

Terapkan persamaan tiga-momen terhadap

Bentangan AB dan BC:

 …. 1

Bentangan BC dan CD:

 … 2

Disederhanakan menjadi :

6,4 M_B + 1,2 M_C = - 1555,2 ………. 1

1,2 M_B + 8,4 M_C = - 1495,2 ………. 2

Eliminasi dan subtitusi persamaan 1 & 2, didapat :

M_B = -215,39 kN.m

M_C = - 147,23 kN.m

Sebelum melangkah lebih lanjut, sebaiknya kita cek dulu di sini ketepatan nilai-nilai M_B dan M_C yang diperoleh di atas. Hal ini dapat dilakukan dengan mengecek θ_B di dalam bentangan AB dan BC serta θ_C di dalam bentangan BC dan CD. Perhatikanlah bahwa diagram momen total pada setiap bentangan adalah jumlah dari diagram-diagram momen pada Gambar 6.3.3b dan c.

Terapkan metode balok padanan terhadap

Bentangan AB :

θ_A    =

       =  (positif berarti searah putaran jarum jam)

θ_B    =

       =  (positif berarti searah putaran jarum jam)

Bentangan BC:

θ_B    =

       =  (positif berarti searah putaran jarum jam)

θ_C   =

       =  (negatif berarti berlawanan arah putaran jarum jam)

Bentangan CD:

θ_C   =

       =  (negatif berarti berlawanan arah putaran jarum jam)

θ_D   =

       =  (positif berarti searah putaran jarum jam)

Dari perhitungan-perhitungan di atas, dapatlah terlihat bahwa nilai-nilai θ_B yang sama diperoleh masing-masing dari penggunaan diagram-diagram momen pada bentangan AB dan DC. Demikian pula, nilai-nilai θ_C yang sama diperoleh dari penggunaan diagram-diagram momen pada bentangan BC dan CD. Hal ini menunjukkan bahwa persamaan tiga-momen yang bersangkutan telah dibuat dan diselesaikan secara tepat, namun tak ada bukti bahwa luas A₁ hingga A₄ telah dihitung secara tepat. Nilai-nilai θ_A dan θ_D telah juga dihitung sehingga mereka dapat ditunjukkan pada Kurva elastis.

 

Gambar 6. Balok kontinu contoh soal 1  

Reaksi perletakan ditentukan sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 7a. Reaksi total di ujung setiap bentangan sama dengan jumlah reaksi yang disebabkan oleh beban-beban yang bekerja pada bentangan yang bersangkut­an dan yang disebabkan oleh momen-momen di ujung-ujung bentangan tersebut. Sebagai contoh, jumlah momen ujung yang bekerja pada bentangan BC sama de­ngan 215,39-147,23 = 68,16 kN.m berlawanan arah jarum jam, yang memerlukan suatu kopel reaksi searah jarum jam, atau sebuah reaksi ke atas sebesar 68,16/12 = 5,680 kN di B dan sebuah reaksi ke bawah sebesar 5,680 kN di C.

 

Gambar 7. Penyelesaian untuk balok kontinu contoh soal 1

Reaksi total terhadap balok kontinu di tumpuan B sama dengan jumlah reaksi-reaksi ujung di B terhadap bentangan BA dan BC, atau R_B = 107,898+ 141,680 = 249,578 kN. Setelah semua reaksi diperoleh, diagram gaya geser digambarkan sebagaimana diperlihatkan pada Gambar 7b. Titik gaya geser nol pada bentangan AB terletak pada jarak 36,102/24 = 1,504 m dari tumpuan A. Luas setiap bagian dari diagram gaya geser dihitung dan ditunjukkan pada diagram gaya geser yang bersangkutan. Dia­gram momen diplot sebagaimana diperlihatkan pada Gambar 7c, hubungan yang menyatakan bahwa beda momen antara dua titik sembarang sama dengan luas diagram gaya geser di antara kedua titik yang bersangkutan, digunakan secara berturut-turut di antara titik-titik yang penting. Dengan cara demikian, M_b dan M_c dicek kembali sama dengan -215,39 dan           -147,23, jadi menunjukkan bahwa reaksi-reaksi yang diperoleh sebelumnya adalah benar. Perhatikan juga bahwa dia­gram momen akan bersifat linier apabila gaya geser yang bersangkutan tetap dan kemiringan kurva momen di sembarang titik sama dengan gaya geser di titik yang bersangkutan. Kurva elastis kualitatifnya diperlihatkan pada Gambar 7d.

Contoh 2. Analisalah balok-kontinu pada Gambar 8a dengan menggunakan persamaan tiga-momen. Gambarkan diagram gaya geser dan momennya. Buatlah sketsa kurva elastisnya.

PENYELESAIAN:  Diagram-diagram momen pada AB, BC dan CD, yang diperoleh melalui peninjauan setiap bentang sebagai suatu balok sederhana yang memikul beban-beban yang bekerja, diperlihatkan pada Gambar 8b. Karena tumpuan A terjepit, suatu balok-khayal A₀A, sepanjang L₀ dan dengan I = ∞, ditambahkan. Diketahui M_A0 = 0 dan M_D = - 36 kN.m.

Terapkan persamaan tiga-momen terhadap :

Bentang A₀A dan AB:

, …………………. 1

Bentang AB dan BC:

,… 2

Bentang BC dan CD:

… 3

Disederhanakan, maka :

4 M_A +    2 M_B                                 = - 432  …………..1

2 M_A + 6,4 M_B + 1,2 M_C                       = - 1555,2 ………. 2

 1,2 M_B + 8,4 M_C                 = - 1495,2 ………. 3

Persamaan 1, 2, dan 3 dieliminasi dan subtitusi mundur, maka didapat : 

M_A = -0.36 kN.m

M_B = -215.28 kN.m

M_C = -147.24 kN-m

 

Gambar 8. Balok menerus contoh 2

Untuk mengecek nilai-nilai M_A, mb, dan mc yang diperoleh di atas, metode balok-padanan digunakan lagi untuk mendapatkan θ_A, θ_B, dan θ_C. Diagram momen pada setiap bentangan adalah jumlah dari diagram-diagram momen pada Gambar 8b dan c.

Terapkan metode balok-padanan terhadap,

Bentangan AB:

θ_A    =

θ_B    =          =  (searah jarum jam)

Bentangan BC:

θ_B    = =  (searah jarum jam)

θ_C   =

       =  (berlawanan jarum jam)

Bentangan CD:

θ_C   = = (berlawanan jarum jam)

θ_D   = =  (searah jarum jam)

Reaksi-reaksi, diagram gaya geser dan momen, dan sketsa kurva elastis dapatlah kemudian diperoleh melalui cara yang sama seperti pada contoh sebelumnya.

Contoh 3. Dengan menggunakan persamaan tiga-momen, analisalah balok-kontinu pada Gambar 9a sehubungan dengan penurunan 15 mm di tumpuan B. Gambarkan diagram gaya geser dan momennya. Buatlah sketsa kurva elastisnya.

PENYELESAIAN: Apabila hanya terjadi penurunan-penurunan tumpuan yang tak sama tapi tak ada beban yang bekerja, persamaan tiga-momen yang bersangkutan menjadi

Dalam penggunaan persamaan di atas, perhatikanlah bahwa h_A dan h_C masing-masing adalah besaran yang menunjukkan bahwa sebenarnya tumpuan A dan C lebih tinggi daripada tumpuan B.

Terapkan persamaan tiga-momen terhadap

Bentangan AB dan BC:

2 M_A + 6,4 M_B + 1,2 M_C = + 0,0225 EI_C

Bentangan BC dan CD:

1,2 M_B + 8,4 M_C + 3 M_D = - 0,0075 EI_C

Karena M_A=M_D = 0 dan EI_C = 80.000 kN.m, persamaan tiga momen yang bersangkutan menjadi

6,4 M_A + 1,2 M_B                  = + 1800

1,2 M_B + 8,4 M_C                       = - 600

Sederhanakan,

M_B = + 302,75 kN.m

M_C = - 114,68 kN.m

Reaksi-reaksi, beserta diagram gaya geser dan momennya ditunjukkan pada Gambar 9b hingga d. Sketsa kurva elastiknya ditunjukkan pada Gambar 9e.

 

Gambar 9. Balok menerus contoh 3

Untuk mengecek ketepatan M_B dan M_C, kemiringan kurva elastis di B dan C masing-masing harus dihitung dengan menggunakan diagram momen pada bentangan sebelah kiri dan kemudian bentangan sebelah kanan serta lihatlah bahwa hasil yang sama diperoleh. Demi kelengkapan, kemiringan di A dan D juga dihi­tung agar kurva elastis pada Gambar 6.4.1e dapat diplot secara lebih baik.

Terapkan metode balok-padanan terhadap.

Bentang AB:

θ_A   =

       = + 3,7614 x 10^-3

θ_B   =

       = - 0,0229 x 10^-3

Bentang BC:

θ_B   =

       = = - 0,0230 x 10^-3

θ_C   =

       = = - 1,4335 x 10^-3

Bentang CD:

θ_C   = = - 1,4335 x 10^-3

θ_D   = = + 0,7168 x 10^-3

Contoh 4. Dengan menggunakan persamaan tiga-momen, analisalah balok-kontinu pada Gambar 10 sehubungan dengan penurunan 15 mm di tumpuan B. Gambarkan diagram gaya geser dan momennya. Buatlah sketsa kurva elastisnya.

PENYELESAIAN: Terapkan persamaan tiga-momen terhadap

Bentangan A₀A dan AB:

 

4 M_A + 2 M_B = -0,0150 EI_C

Bentangan AB dan BC:

2 M_A + 6,4 M_B + 1,2 M_C = + 0,0225 EI_C

Bentangan BC dan CD:

1,2 M_B + 8,4 M_C + M_D = - 0,0075 EI_C

Diketahui MD = 0 dan EI_C = 80.000 kN.m dalam persamaan tiga momen,

4 M_A + 2 M_B                        = - 1200

2 M_A + 6,4 M_B + 1,2 M_C       = + 1800

             1,2 M_B + 8,4 M_C     = - 600

Selesaikan,

M_A = - 537,70 kN.m, M_B = - 475,41 kN.m, M_C = - 139,34 kN-m

Reaksi-reaksi, diagram gaya geser dan momen, serta kurva elastisnya ditunjukkan pada Gambar 10b-e.

Untuk mengecek ketepatan M_A, M_B dan M_C, tiga kondisi keselarasan yang bersangkutan dapat diuji benar-tidaknya dengan melihat bahwa (1) θ_A = 0, (2) θ_B yang dihitung dari bentang BA = θ_B yang dihitung dari bentang BC, dan (3) θ_C yang dihitung dari bentang CB = θ_C yang dihitung dari bentang CD.

Terapkan metode balok-padanan terhadap

Bentang AB:

θ_A   =

       =  = 0

θ_B   =

       =  = + 0,7787 x 10^-3

Bentang BC:

θ_B   =

       =  = + 0,7787 x 10^-3

θ_C   =

       = = - 1,7418 x 10^-3

Bentang CD:

θ_C   =

       = = - 1,7418 x 10^-3

θ_D   =

       =  = + 0,8709 x 10^-3

 

Gambar 10. Balok menerus contoh 4

1.5    Soal Latihan

1. Analisalah balok-kontinu pada Gambar di bawah ini dengan menggunakan persamaan tiga-momen. Gambarkan diagram gaya geser dan momennya. Buatlah sketsa kurva elastisnya. Juga lakukan pengecekan terhadap kontinuitas kemiringan di kedua tumpuan-tengahnya.

 

2. Analisalah balok-kontinu pada Gambar di bawah ini dengan menggunakan persamaan tiga-momen. Gambarkan diagram gaya geser dan momennya. Buatlah sketsa kurva elastisnya. Juga lakukan pengecekan terhadap ketiga kondisi keselarasan untuk kurva elastis.

 

3.  Analisalah balok-balok kontinu pada Gambar di bawah ini dengan menggunakan persamaan tiga-momen. Gambarkan diagram gaya geser dan momennya. Buatlah sketsa kurva elastisnya. Lakukan pengecekan terhadap kontinuitas kemiringan di semua tumpuan.